Question

已知平面直角坐标系xoy中O是坐标原点，A（6，2

3

），B（8，0），圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线为l．
（1）求圆C的方程；
（2）若l与圆相切，求切线方程；
（3）若l被圆所截得的弦长为4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）三角形外接圆的圆心C为三角形三边垂直平分线的交点，故找出边OA与OB的垂直平分线交点即为圆心C，由A和O的坐标得出直线OA的斜率，利用两直线垂直时斜率满足的关系求出线段OA垂直平分线的斜率，再利用线段中点坐标公式求出线段OA的中点坐标，确定出线段OA垂直平分线的方程，找出线段OB垂直平分线的方程，两直线解析式联立求出两直线的交点坐标，即为圆心C的坐标，再由C与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可；
（2）显然切线方程的斜率存在，设切线方程的斜率为k，由切线过（2，6），表示出切线的方程，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出切线的方程；
（3）当直线l的斜率不存在时，显然x=2满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，由直线l过（2，6），表示出直线l的方程，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出弦心距，即为圆心C到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．

解答：解：（1）∵O（0，0），A（6，2

3

），
∴直线OA的方程斜率为

2 3 -0

6-0

=

3

3

，
∴线段OA垂直平分线的斜率为-

3

，又线段AO的中点坐标为（3，

3

），
∴线段OA垂直平分线的方程为y-

3

=-

3

（x-3），即

3

x+y-4

3

=0①，
又线段OB的垂直平分线为x=4②，
∴将②代入①解得：y=0，
∴圆心C的坐标为（4，0），
又|OC|=4，即圆C的半径为4，
则圆C的方程为：（x-4）²+y²=16；
（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，又切线过（2，6），
∴切线l的方程为y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即

|2k+6|

k2+1

=4，
解得：k=

3±2 6

3

，
则切线l的方程为：y-6=

3±2 6

3

（x-2）；       
（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），
∴切线l的方程为y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
又弦长为4

3

，半径r=4，
∴圆心到切线的距离d=

42-(2 3 )2

=2，即

|2k+6|

k2+1

=2，
解得：k=-

4

3

，
∴直线l的方程为y-6=-

4

3

（x-2），即4x+3y-26=0，
综上，直线l的方程为x=2或4x+3y-26=0．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，直线斜率的求法，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，线段中点坐标公式，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，利用了分类讨论及转化的思想，其中当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．