Question

已知x∈[0，1]，函数f(x)=x2-ln(x+

1

2

)，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≤-1，若?x₁∈[0，1]，总存在，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间和值域．
（2）在a≤-1，x∈[0，1]的条件下，判断g（x）的单调性，进而求解g（x）的值域，依题意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=2x-

1

x+ 1 2

令f'（x）=0
解得：x=

1

2

，x=-1（舍去）
列表：
可知f（x）的单调减区间是(0，

1

2

)，增区间是(

1

2

，1)；
因为

1

4

＜1-ln

3

2

=ln2-(ln3-1)＜ln2，
所以当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[

1

4

，ln2]
（Ⅱ）g′（x）=3（x²-a²）
因为a≤-1，x∈（0，1）
所以g′（x）＜0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0）
所以g（x）∈[1-4a-3a²，-4a]
因为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[

1

4

，ln2]
由题意知：[

1

4

，ln2]⊆[1-4a-3a2，-4a]
所以

1-4a-3a2≤ 1 4 -4a≥ln2

又a≤-1，得a≤-

3

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、值域等函数知识，对于（2）解答的关键是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在学习中，同学们应熟练掌握这一方法，本题是一道好题，属于教学中的重点和难点．