Question

已知x∈[0，1]，函数f(x)=x2-ln(x+

1

2

)，g（x）=x³-3a²x-4a．
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≤-1，若?x₁∈[0，1]，总?x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围；
（3）对于任意的正整数n，证明ln(

1

n

+

1

2

)＞

1

n2

-

2

n

-1．（注：[ln(x+

1

2

)]/=

1

x+ 1 2

）

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0可得极值点，列出随x变化时f′（x），f（x）的变化表，由表可知单调区间，根据单调性可得最值，进而得到值域；
（2）利用导数可判断g（x）在[0，1]上的单调性，从而可求值域为[1-4a-3a²，-4a]，由题意，得[1-4a-3a2，-4a]?[

1

4

，ln2]，由此可得不等式组，解出即可；
（3）构造函数h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+

1

2

)，利用导数可判断h（x）在[0，1]上的单调性，根据单调性可证h（x）＞h（0）＞0，整理该不等式后令x=

1

n

即可；

解答：解：（1）令f/(x)=2x-

1

x+ 1 2

=0，解得x=

1

2

，x=-1舍去．
由下表：

x	0	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	ln2		1 4		1-ln 3 2

可知，f（x）的单调递减区间是（0，

1

2

），递增区间是（

1

2

，1）； 
f（x）在

1

2

处取得极小值，也为最小值，
又

1

4

=ln

4	e

＜1-ln

3

2

=ln

2e

3

＜ln2，
故当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[

1

4

，ln2]；
（2）∵g'（x）=3（x²-a²），
∴当a≤-1，x∈（0，1）时，g'（x）＜3（1-a²）≤0，
∴g（x）为[0，1]上的减函数，从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）]=[1-4a-3a²，-4a]． 
由题意，得[1-4a-3a2，-4a]?[

1

4

，ln2]，
即

1-4a-3a2≤ 1 4 -4a≥ln2 a≤-1

，解得a≤-

3

2

，
故a的取值范围为a≤-

3

2

．                               
（3）构造函数h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+

1

2

)，
则h′(x)=2-2x+

2

2x+1

=2(1-x)+

2

2x+1

，
当x∈[0，1]时，h′（x）＞0，∴函数h（x）在[0，1]上单调递增，
又h（0）=1-ln2＞0，
∴x∈[0，1]时，恒有h（x）＞h（0）＞0，即2x+1＞x2-ln(x+

1

2

)恒成立，
故对任意正整数n，取x=

1

n

∈[0，1]，有ln(

1

n

+

1

2

)＞

1

n2

-

2

n

-1．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力，解决（3）问的关键是根据目标式恰当构造函数．