Question

（2012•海口模拟）焦点在x轴上，离心率为

2

2

的椭圆经过点（

6

，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程，利用离心率为

2

2

的椭圆经过点（

6

，1），建立方程，从而可求椭圆方程；．
（2）问题等价于

1

|AB|

+

1

|CD|

=λ，即

1

|AB|

+

1

|CD|

是否是定值问题，分类讨论，利用韦达定理求得弦长，化简，即可得到结论．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵离心率为

2

2

的椭圆经过点（

6

，1）．
∴

a2-b2

a2

=

1

2

，

6

a2

+

1

b2

=1，
∴a²=8，b²=4，故椭圆方程是

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）问题等价于

1

|AB|

+

1

|CD|

=λ，即

1

|AB|

+

1

|CD|

是否是定值问题．
椭圆的焦点坐标是（±2，0），不妨取焦点（2，0），当直线AB的斜率存在且不等于零时，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是y=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

-8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-8

1+2k2

．
根据弦长公式，|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k2)

1+2k2

以-

1

k

代换k，得|CD|=

4 2 (1+ 1 k2 )

1+ 2 k2

=

4 2 (1+k2)

k2+2

所以

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3(k2+1)

4 2 (k2+1)

=

3 2

8

即|AB|+|CD|=

3 2

8

|AB|•|CD|．
当直线AB的斜率不存在或等于零时，|AB|，|CD|一个是椭圆的长轴长度，一个是通径长度，
此时

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

4 2

+

2 2

8

=

3 2

8

，即|AB|+|CD|=

3 2

8

|AB|•|CD|．
综上所述，故存在实数λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．