Question

（2012•广州一模）如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱锥A-CDE的体积；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（方法一）（1）证明AC⊥B₁D，只需证明AC⊥平面BB₁D；
（2）证明A₁D⊥AE，求出DE=

1

2

，从而可求三棱锥A-CDE的体积；
（3）设A₁D∩AE=F，AC∩BD=O，B₁D∩OE=G，连接FG，证明∠DFG是二面角D-AE-C的平面角，由等面积关系求出DG，DF，从而可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．
（方法二）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
（1）证明

DB1

•

AC

=0，可得

DB1

⊥

AC

，从而AC⊥B₁D；
（2）设E（0，0，a），利用B₁D⊥平面ACE，可得

DB1

•

AE

=0，从而可求体积；
（3）平面ADE的一个法向量为

n1

=

DC

=(0，1，0)，面ACE的一个法向量为

DB1

=(1，1，2)，利用向量的夹角公式，即可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

解答：（方法一）（1）证明：连接AC，则AC⊥BD…（1分），
因为BB₁⊥面ABCD，所以，BB₁⊥AC…（2分），
因为BB₁∩BD=B，所以AC⊥平面BB₁D…（3分），
所以AC⊥B₁D…（4分）．
（2）解：连接A₁D，与（1）同理可知A₁D⊥AE…（6分），
从而

DE

AD

=

AD

AA1

，DE=

1

2

…（7分），
所以VA-CDE=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×1=

1

12

…（8分）
（3）解：设A₁D∩AE=F，AC∩BD=O，B₁D∩OE=G，连接FG，
则AE⊥FG…（9分），所以∠DFG是二面角D-AE-C的平面角…（10分），
由等面积关系知DG=

DO×DE

OE

=

2

3

…（11分），DF=

DA×DE

AE

=

2

5

…（12分），
由（2）知∠DGF=

π

2

，sin∠DFG=

DG

DF

=

5

6

…（13分），
∴cos∠DFG=

6

6

…（14分）．
（方法二）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（1分）．
（1）证明：依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，2）…（3分），
所以

AC

=(-1，1，0)，

DB1

=(1，1，2)…（4分），
所以

DB1

•

AC

=0，

DB1

⊥

AC

，所以AC⊥B₁D…（5分）．
（2）解：设E（0，0，a），则

AE

=(-1，0，a)…（6分），
因为B₁D⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以B₁D⊥AE…（7分），
所以

DB1

•

AE

=0，所以-1+2a=0，a=

1

2

…（8分），所以VA-CDE=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×1=

1

12

…（9分）
（3）解：平面ADE的一个法向量为

n1

=

DC

=(0，1，0)…（10分），
平面ACE的一个法向量为

DB1

=(1，1，2)…（12分），
由图知，二面角D-AE-C的平面角的余弦值为cosθ=

n1 • DB1

| n1 |•| DB 1 |

=

1

6

=

6

6

…（14分）．

点评：本题考查线线垂直，考查三棱锥的条件，考查面面角，两法并举，注意体会．