Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.

Answer 1

x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±)x

解析:

∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，

∴切线的斜率是±1或过原点.

切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得

2x²-2（b-3）x+（b²-4b+3）=0或2x²+2(c-1)x+(c²-4c+3)=0,

由于相切，则方程有等根，∴Δ₁=0，

即［2(b-3)］²-4×2×（b²-4b+3)=-b²+2b+3=0,

∴b=3或-1,

Δ₂=0,

即［2(c-1)］²-4×2×(c²-4c+3)=-c²+6c-5=0.

∴c=5或1,

当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0.

由,得k=2±.

∴y=(2±)x,

故所求切线方程为：

x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±)x.