Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁F₂，过F₁且倾斜角为60°的直线l与双曲线交于M，N两点，则△MNF₂的内切圆半径为    ．

Answer 1

【答案】分析：依题意可求得直线MN的方程，与-y²=1联立，可求得|MN|，再利用双曲线的定义可求得△MNF₂的周长，设F₂到直线MN的距离为d，利用△MNF₂的面积公式即可求得△MNF₂的内切圆半径．
解答：解：∵-y²=1的右焦点为F₂（2，0），左焦点为F₁（-2，0），
∴过F₁且倾斜角为60°的直线l方程为：y=（x+2），
∴由 消去y得：8x²+36x+39=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程8x²+36x+39=0的两根．
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，
∴|MN|=•
=2=．
∵|MF₂|-|MF₁|=2，
|NF₂|-|NF₁|=2，
∴|MF₂|+|NF₂|=4+|MN|=5．
∴△MNF₂的周长为|MF₂|+|NF₂|+|MN|=6；
设F₂（2，0）到直线MNx-y+2=0的距离为d，
则d==2，
∴=|MN|•d=××2=3．
设△MNF₂的内切圆半径为r，
则=（|MF₂|+|NF₂|+|MN|）•r=3r，
∴3r=3，
∴r=．
故答案为：．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的相交，考查点到直线间的距离公式，考查转化与运算的综合应用，属于难题．