Question

（2012•枣庄一模）已知函数f(x)=

1

3

ax3+

b

2

x2+x+1，其中a＞0，a，b∈R．
（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递增，试用a表示b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有解，a＞0，根据二次方程的性质可求解；
（2）f（x）在区间[1，2]上单调递增，可得f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=ax²+bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax²+bx+1=0，必须有解，
所以△=b²-4a＞0，即b²＞4a，
此时方程ax²+bx+1=0的根为：
x₁=

-b- b2-4a

2a

，x₂=

-b+ b2-4a

2a

，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
当a＞0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值．
（2）要使f（x）在区间[1，2]上单调递增，需使f′（x）=ax²+bx+1≥0在[1，2]上恒成立．
即b≥-ax-

1

x

，x∈[1，2]恒成立，
所以b≥-（-ax-

1

x

） max
设g（x）=-ax-

1

x

，g′（x）=-a+

1

x2

=

1-ax2

x2

，
①当

1

a

∈[1，2]时，即

1

4

≤a≤1，g（x）=-ax-

1

x

≤-2

ax• 1 x

=-2

a

，等号成立的条件是

1

a

∈[1，2]，
g（x）在[1，2]上的最大值g（

1

a

）=-2

a

，因此b≥-2

a

，
②当

1

a

＜1时，即a＞1时，g′（x）=-a+

1

x2

=

1-ax2

x2

，且g′（x）＜0，
因此g（x）在[1，2]上单调减，它的最大值g（1）=-a-1，因此b≥-a-1，
③当

1

a

＞2时，即a＜

1

4

时，g′（x）=-a+

1

x2

=

1-ax2

x2

，且g′（x）＞0，
因此g（x）在[1，2]上单调增，它的最大值g（2）=-2a-

1

2

，因此b≥-2a-

1

2

，
综上，当

1

4

≤a≤1时，b≥-2

a

，当

1

a

＜1时，b≥-a-1，当

1

a

＞2时，b≥-2a-

1

2

．

点评：本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由f′（x）＞0，解得函数的单调增区间；反之函数在[a，b]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，进而转化为求函数在区间[a，b]上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．