Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx²+4y²=1的右焦点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）试求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在y轴上截距为2的直线l与抛物线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）若以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别交抛物线C上半支和y轴正半轴于A，B两点，直线AB与x轴交于点Q，试用A点的横坐标x表示点Q的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，求出m，可得右焦点坐标，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程与抛物线联立，利用以线段MN为直径的圆过原点，结合向量知识，即可求直线l的方程；
（Ⅲ）确定A、B的坐标，可得直线的方程，令y=0，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆mx²+4y²=1的离心率为，
∴，∴m=2
∴2x²+4y²=1的右焦点坐标为（，0）
∵抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx²+4y²=1的右焦点，
∴抛物线C的方程为y²=2x；
（Ⅱ）由题意，设l的方程为y=kx+2，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直线方程代入抛物线方程可得k²x²+（4k-2）x+4=0，则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=8-
∵以线段MN为直径的圆过原点，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴
∴k=-1
∴l的方程为y=-x+2，即x+y-2=0；
（Ⅲ）设圆的方程为x²+y²=t，与抛物线方程联立，可得x²+2x-t=0
设A（），则t=x²+2x，B（0，x²+2x）
∴直线AB的方程为y-（x²+2x）=（x-0）
令y=0，则x=．
∴Q（，0）
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．