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已知函数f(x)=lnx-ax+1(x>0)
(1)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)≤0恒成立,求实数a的最小值.
(2)若a=
5
2
且关于x的方程f(x)=-
1
2
x2
+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;
(3)设各项为正的数列{an}满足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*.求证:an≤2n-1.
分析:(1)求导数f′(x),对任意的x∈[1,+∞),f(x)≤0恒成立,等价于f(x)在[1,+∞)上的最大值小于等于0,根据a的范围分类讨论,利用导数即可求得f(x)的最大值;
(2)表示出方程,分离出b,然后构造函数g(x)=lnx+
1
2
x2-
5
2
x+1
(x>0),利用导数可求出g(x)在[1,4]上的值域,作出g(x)的草图,由图象即可求得b的范围;
(3)由(1)得a=1时f(x)≤0,即lnx≤x-1,则an+1=lnan+an+2可化为an+1≤an-1+an+2=2an+1,即an+1+1≤2(an+1),所以
an+1+1
an+1
≤2
,由此构造n-1个不等式累乘即可得到结论;
解答:解:(1)f′(x)=
1
x
-a
=
1-ax
x
(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在[1,+∞)上单调递增,
f(x)在[1,+∞)上无最大值,不合题意;
当0<
1
a
≤1
即a≥1时,f′(x)≤0,f(x)在[1,+∞)上递减,
所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=-a+1,
由f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,得-a+1≤0,解得a≥1;
1
a
>1
即0<a<1时,x∈[1,
1
a
)时f′(x)>0,f(x)递增,x∈(
1
a
,+∞)时f′(x)<0,f(x)递减,
所以f(x)max=f(
1
a
)
=-lna,则-lna≤0,解得a≥1,此时无解;
综上,a≥1,所以实数a的最小值为1;
(2)f(x)=-
1
2
x2
+b,即lnx+
1
2
x2-
5
2
x+1
=b,
令g(x)=lnx+
1
2
x2-
5
2
x+1
(x>0),则g′(x)=
1
x
+x-
5
2
=
(x-
1
2
)(x-2)
x

当1≤x<2时g′(x)<0,g(x)递减,当2<x≤4时g′(x)>0,g(x)递增,
所以x=2时g(x)取得最小值为ln2-2,
又g(1)=-1,g(4)=ln4-1,所以g(x)的最大值为ln4-1,
作出g(x)在[1,4]上的草图如下:

由于方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,
根据图象可知b的范围为(ln2-2,-1];
证明:(3)由(1)知,因为an+1=lnan+an+2,
所以an+1≤an-1+an+2=2an+1,即an+1+1≤2(an+1),
所以
a2+1
a1+1
×
a3+1
a2+1
×
a4+1
a3+1
×…×
an+1
an-1+1
≤2×2×2×…×2=2n-1,即
an+1
a1+1
2n-1

所以an+1≤2n,即an2n-1
点评:本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、数列与不等式的综合、函数恒成立等知识,解决(3)问的关键是借助(1)问结论恰当构造不等式.
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x1+x2
2
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1
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3
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3
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6
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6
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