Question

【题目】已知数列中，，点（）在直线y = x上，

（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；

（Ⅱ）令bn=an+1﹣an﹣1，求证：数列{bn}是等比数列；

（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）存在λ=2.

【解析】试题分析：（1）根据点在直线 上，可得，代入计算可得的值；（2）利用，及，即可证明数列是等比数列；（3）求得数列的前三项，求得 ，再验证即可求得结论.

试题解析：（Ⅰ）由题意，∵点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，

∴2an+1﹣an=n

∵，∴，

同理，，；

（Ⅱ）证明：∵bn=an+1﹣an﹣1，2an+1﹣an=n

∴bn+1=an+2﹣an+1﹣1=﹣an+1﹣1=（an+1﹣an﹣1）=bn，

∵b1=a2﹣a1﹣1=﹣

∴数列{bn}是以﹣为首项，为公比的等比数列；

（Ⅲ）解：存在λ=2，使数列是等差数列．

由（Ⅱ）知，，，

∵an+1=n﹣1﹣bn=n﹣1+，∴an=n﹣2+，

∴Sn==

由题意，要使数列是等差数列，则

∴2×=﹣λ+，∴λ=2

当λ=2时， =，数列是等差数列

∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．