Question

已知函数f（x）=log_a（2x+1），g（x）=log_a（1-2x）（a＞0且a≠1）
（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）确定x为何值时，有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的性质求函数的定义域．
（2）利用函数奇偶性的定义去判断．
（3）若f（x）＞g（x），可以得到一个对数不等式，然后分类讨论底数取值，即可得到不等式的解．

解答：解：（1）要使函数有意义，则有

2x+1＞0 1-2x＞0

∴{x| -

1

2

＜x＜

1

2

}．
（2）F（x）=f（x）-g（x）
=log_a（2x+1）-log_a（1-2x），
F（-x）=f（-x）-g（-x）
=log_a（-2x+1）-log_a（1+2x）
=-F（x）．
∴F（x）为奇函数．
（3）∵f（x）-g（x）＞0
∴log_a（2x+1）-log_a（1-2x）＞0
即log_a（2x+1）＞log_a（1-2x）．
①0＜a＜1，0＜2x+1＜1-2x∴-

1

2

＜x＜0．
②a＞1，2x+1＞1-2x＞0∴0＜x＜

1

2

．

点评：本题主要考查了函数的定义域以及函数奇偶性的判断，判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，然后在利用奇偶性的定义去判断，同时考查不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．