Question

2．$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n•{3}^{n}}{n（x-2）^{n}+n•{3}^{n+1}-{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 化简可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\frac{（x-2）^{n}}{{3}^{n}}+3-\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{3}$，从而可得$\underset{lim}{n→∞}$（$（\frac{x-2}{3}）^{n}$-$\frac{1}{n}$）=0，从而可得-1＜$\frac{x-2}{3}$＜1，从而解得．

解答 解：∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n•{3}^{n}}{n（x-2）^{n}+n•{3}^{n+1}-{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\frac{（x-2）^{n}}{{3}^{n}}+3-\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$（\frac{x-2}{3}）^{n}$-$\frac{1}{n}$）=0，
∴-1＜$\frac{x-2}{3}$＜1，
故-1＜x＜5．

点评 本题考查了极限的求法及转化思想与整体思想的应用．