Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，运用离心率公式可得a=$\sqrt{2}$，由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；
（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x-1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB的斜率不存在时，也成立．

解答 解：（1）由题意可得2c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得c=1，a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值．
若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），
由y=k（x-1）代入椭圆方程x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂+1-（x₁+x₂）]
=k²（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+1-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）=-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂
=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+m²-m•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-2+（2{m}^{2}-4m+1）{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
欲使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值，则2m²-4m+1=2（m²-2），
解得m=$\frac{5}{4}$，
此时$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$\frac{25}{16}$-2=-$\frac{7}{16}$；
当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由M（$\frac{5}{4}$，0），可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$-$\frac{7}{16}$，符合题意．
故在x轴上存在定点M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值-$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．