Question

6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上的值域；
（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．

Answer 1

分析 （1）根据图形，求出正确与ω的值，再由函数y的图象经过点（ $\frac{π}{6}$，2），结合φ∈（0，π），即可求出φ的值．得到函数的解析式，求出自变量的范围，相位的范围，然后求解函数值域．
（2）利用函数的解析式求出A，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

解答 解：（1）根据图形知，函数的周期T=$\frac{4}{3}$（$\frac{11π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，
所以ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2；
又y=2sin（2x+φ）的图象经过（$\frac{π}{6}$，2），
所以2×$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
所以φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
又，φ∈（0，π），
所以φ=$\frac{π}{6}$．f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]
函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上的值域：[0，2]．
（2）f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1．∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$．
在三角形ABC中，由余弦定理可得：BC2=9+4$-2×3×2×\frac{1}{2}=7$∴BC=$\sqrt{7}$．
由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{7}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2}{sinB}$，
故sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，又AC＜AB，∴∠B为锐角，∴cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sin2B=2sinBcosB=$\frac{2\sqrt{21}}{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正弦定理以及余弦定理的应用，是中档题．