Question

18．已知定点F（0，1），动点M（a，-1）（a∈R），线段FM的中垂线l与直线x=a交于点P．
（1）求动点P的轨迹Г的方程；
（2）当△PFM为正三角形时，过点P作直线l的垂线，交轨迹Г于P，Q两点，求证：点F在以线段PQ为直径的圆内．

Answer 1

分析 （1）根据|PF|=|PM|可知P的轨迹为以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线；
（2）求出PQ的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系和弦长公式计算|PQ|，PQ的中点N，|NF|，通过比较|NF|与$\frac{1}{2}$|PQ|的大小得出结论．

解答 解：（I）∵P在FM的中垂线l上，∴|PF|=|PM|
∵PM与直线y=-1垂直，∴|PM|为P到直线y=-1的距离．
∴P到点F（0，1）的距离与P到直线y=-1的距离相等，
∴P的轨迹为以（0，1）为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线．
∴P的轨迹方程为：x²=4y．
（II）不妨设a＞0，
∵△PFM为正三角形，∴直线FM的倾斜角为150°，即k_FM=tan150°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线FM的方程为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
令y=-1，得-$\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$=-1，解得x=2$\sqrt{3}$，即M（2$\sqrt{3}$，0）．
把x=2$\sqrt{3}$代入x²=4y得y=3．∴P（2$\sqrt{3}$，3）．
∵l⊥FM，l⊥PQ，
∴FM∥PQ，∴k_PQ=k_FM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线PQ的方程为：y-3=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2$\sqrt{3}$），即x+$\sqrt{3}$y-5$\sqrt{3}$=0．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-5\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消元得：$\sqrt{3}$x²+4x-20$\sqrt{3}$=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，x₁x₂=-20．y₁+y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=$\frac{34}{3}$．
∴|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{32}{3}$．∴以PQ为直径的圆的半径r=$\frac{16}{3}$．
设PQ的中点为N，则N（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{17}{3}$）．
∴|NF|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{14}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．
∵$\frac{4\sqrt{13}}{3}$＜$\frac{16}{3}$，
∴点F在以线段PQ为直径的圆内．

点评 本题考查了抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．