Question

已知：定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若a=1，求：f（x）的图象在点（1，-2）处的切线方程；
（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求：实数a的值；
（3）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求：实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x³-3x²，则f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
则k=f′（1）=-3，
∴切线方程为：y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0；
（2）f（x）=ax³-3x²，得到f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0即3（a-2）=0，∴a=2；
（3）①当a=0时，f（x）=-3x²在区间（-1，0）上是增函数，则a=0符合题意；
②当a≠0时，f′（x）=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0，则x₁=0，x₂=

2

a

，
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f′（x）＞0，则a＞0符合题意；
当a＜0时，当x∈（

2

a

，0）时，f′（x）＞0，则

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0符合题意，
综上所述，a≥-2满足要求．