Question

函数y=cos²x•sinx，x的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由条件求得 0＜sinx≤1，令t=sinx∈（0，1]，则 y=f（t）=t-t³，f′（t）=1-3t²．令f′（t）=0，解得 t=，再根据导数的符号判断当t=时，函数 f（t）取得最大值为 f（），运算求得结果．
解答：解：∵函数y=cos²x•sinx=（1-sin²x）sinx=sinx-sin³x，x，
∴0＜sinx≤1．
令t=sinx∈（0，1]，则 y=f（t）=t-t³，f′（t）=1-3t²．
令f′（t）=0，解得 t=．
在（0，）上，f′（t）＞0，故函数f（t）为增函数；在（，1]上，f′（t）＜0，故函数f（t）为减函数，
故当t=时，函数 f（t）取得最大值为 f（）=-=，
故答案为 ．
点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属于中档题．