Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F（0，p）（p＞0），直线l：y=-p，点p在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过R、P分别作直线l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l l₁∩l₂=Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；
（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线MA，MF，MB的斜率存在时，直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先判断RQ是线段FP的垂直平分线，从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线；
（Ⅱ）设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切线方程，从而可得x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根，进一步可得直线AB的方程，即可得到直线恒过定点（0，p）；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）的结论，设M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，从而可得k_MA=，k_MB=，由此可证直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．
解答：（Ⅰ）解：依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．---------------------------------------（2分）
∴|PQ|=|QF|．
∴动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x²=4py（p＞0）．--------------------（4分）
（Ⅱ）证明：设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²=4py得，求导得y′=．
∴两条切线方程为 ①
②-------------------（6分）
对于方程①，代入点M（m，-p）得，，
又
∴
整理得：
同理对方程②有
即x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根．
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²  ③-----------------------（8分）
设直线AB的斜率为k，=
所以直线AB的方程为，展开得：，
代入③得：
∴直线恒过定点（0，p）．-------------------------------------（10分）
（Ⅲ） 证明：由（Ⅱ）的结论，设M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，
∴k_MA=，k_MB=----------------------------（11分）
∴===-------（13分）
又∵=-，
∴
即直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．----------------------------（14分）
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线恒过定点，考查直线的向量，解题的关键是正确运用韦达定理，属于中档题．