Question

已知函数f（x）定义域为{x∈R|x≠0），对于定义域内任意x、y 都有f（x）+f（y）=f（xy），且x＞1时，f（x）＞0，则（　　）

• A、f（x）在（-∞，0）上递减，在（ 0，+∞）上递增
• B、f（x）在（-∞，0）上递增，在（ 0，+∞）上递减
• C、f（x）在（-∞，0）上递增，在（ 0，+∞）上递增
• D、f（x）在（-∞，0）上递减，在（ 0，+∞）上递减

Answer 1

分析：令x=y=1⇒f（1）=0；分0＜x₁＜x₂与若x₁＜x₂＜0讨论，利用函数单调性的定义判断即可．

解答：解：令x=y=1，则f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
若0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
由题意，f（

x2

x1

）＞0，
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在（0，+∞）内为增函数；
若x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∴

-x1

-x2

=

x1

x2

＞1，
∴同理得f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，0）内为减函数；
故选：A．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．