Question

已知函数（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）
由已知得，．…（2分）
（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1．
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）
（2）当a＜0时，
①当时，即a＜-1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；
令f'（x）＜0，解得．
所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）
②当时，即a=-1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（5分）
③当时，即-1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；
令f'（x）＜0，解得．
所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）
综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）当a＜-1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；
（3）当a=-1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（4）当-1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）
（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则，．
=
=…（8分）
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率k=f'（x₀）==，…（9分）
依题意得：=．
化简可得：=，
即==．…（11分）
设（t＞1），上式化为：，
即．…（12分）
令，=．
因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）
分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．
点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．