Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值；
（III）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足

h(x1)-h(x2)

x1-x2

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，知f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，x＞0，由此能求出导函数f′（x）的最小值．
（II）当a=3时，h（x）=

1

2

x2+2lnx-3x，h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

，由此列表讨论能求出函数h（x）的单调区间及极值．
（III）由题意，h（x）=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax，（a＞1）．设x₁＜x₂，由

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂，构造函数F（x）h（x）+x=

1

2

x2+(a-1)x-ax+x，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）∵f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，
∴f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，x＞0，
∵a＞1，∴a-1＞0，
又∵x＞0，∴x+

a-1

x

-3≥2

a-1

-3，
当且仅当x=

a-1

时，取等号，其最小值为2

a-1

-3．
（II）当a=3时，h（x）=

1

2

x2+2lnx-3x，
h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

，
x，h′（x），h（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	- 5 2	↓	2ln2-4	↑

所以，函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．…（7分）
函数h（x）在x=1处取得极大值-

5

2

，在x=2处取得极小值2ln2-4．…（8分）
（III）由题意，h（x）=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax，（a＞1）．
不妨设x₁＜x₂，则由

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，
得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂，
令F（x）h（x）+x=

1

2

x2+(a-1)x-ax+x，
则函数F（x）在（0，+∞）单调递增，
F′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+a-1

x

≥0在（0，+∞）恒成立，
∵G（0）=a-1＞0，

a-1

2

＞0，
∴只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0，
解得1＜a＜5，
∴实数a的取值范围是（1，5）．

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查函数的单调区间和极值，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．