Question

已知函数已知幂函数g(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，又f（x）=sinx+mcosx，F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）若tanx=

1

3

，求F（x）的值；
（Ⅱ）把F（x）图象的横坐标缩小为原来的一半后得到H（x），求H（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（I）利用幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，确定m的值．再求导，即可求得F（x）的值；
（Ⅱ）先确定H（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，即可求得H（x）的单调减区间．

解答：解：（I）幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
∴-m²+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
又m∈Z，函数f（x）为偶函数，故m=1…．（3分）
∴f（x）=sinx+cosx，f'（x）=cosx-sinx
∴F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1=2（cosx-sinx）cosx-1=cos2x-sin2x=

1-tan2x

1+tan2x

-

2tanx

1+tan2x

∵tanx=

1

3

，F（x）=

4

5

-

3

5

=

1

5

．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知：F（x）=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

π

4

)，∴H(x)=

2

cos(4x+

π

4

)．
令2kπ≤4x+

π

4

≤2kπ+π，k∈Z得：

kπ

2

-

π

8

≤x≤

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z
∴H（x）的单调减区间为[

kπ

2

-

π

8

，

kπ

2

+

3π

8

]k∈Z…（12分）

点评：本题考查幂函数，考查导数知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．