Question

已知函数f(x)=

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3

x3+ax2+bx，a，b∈R
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值．
（2）已知f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：0＜a+b＜2．

Answer 1

分析：（1）根据曲线y=f（x）经过P（1，2），所以该点坐标适合曲线方程，又曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，所以f^′（1）=2，联立两方程可求得a，b的值；
（2）要使f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，则有f^′（x）=0在在（1，2）上有两个不等实数根，根据三个二次的关系列式，通过整理变形可以得到要整的结论．

解答：解：（1）由f(x)=

1

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x3+ax2+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b
因为y=f（x）经过点P（1，2），所以有

1

3

×13+a×12+b=2，即3a+3b-5=0 ②
又曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，所以f^′（1）=2a+b+1=2，即2a+b-1=0   ①
联立①②得：a=-

2

3

，b=

7

3

；
（2）因为函数f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以导函数对应的二次方程x²+2ax+b=0在（1，2）
上有两个不等实数根，则

△=(2a)2-4b＞0 -2＜a＜-1 1+2a+b＞0 4+4a+b＞0

把

-2＜a＜-1 1+2a+b＞0

相加得a+b＞0，
由△＞0得b＜a²，
则a+b＜a+a2=(a+

1

2

)2-

1

4

＜2，则结论得证．

点评：本题考查了利用导数研究函数极值及函数切线方程问题，考查了数学转化思想，训练了求求曲线在某点的切线方程的方法及如何让运用三个二次的结合解决二次方程在给定区间上根的问题，对基本运算进行了考查．