Question

8．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{2}$，且2$\sqrt{2}$（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB．
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理求出sinA、sinB、sinC，代入已知的等式化简，由余弦定理求出cosC的值，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C；
（2）由（1）和正弦定理求出c，利用余弦定理列出方程，由不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式求出△ABC面积S的最大值．

解答 解：（1）由题意得，△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{2}$，
由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2\sqrt{2}$，
∴sinA=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$，sinB=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$，sinC=$\frac{c}{2\sqrt{2}}$，
代入2$\sqrt{2}$（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB得，a²-c²=b（a-b），
即a²+b²-c²=ab，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²-c²=2abcosC，则2abcosC=ab，即cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）可得$\frac{c}{sinC}=2\sqrt{2}$，则c=2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{6}$，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
则6=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
则△ABC面积S的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，三角形的面积公式，以及不等式求最值问题，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．