Question

3．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），求a_n．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1为首项，以3为等比的等比数列，问题得以解决．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$），
∵a₁=2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1为首项，以3为等比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
∴a_n=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$

点评 本题考查数列递推式，确定数列的通项是关键，属于中档题．