Question

11．已知半径为3的球面上有A，B，C，D四点，若AB=3，CD=4，则四面体ABCD体积的最大值是3$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 当体积最大时，AB垂直于CD与圆心O确定的平面α，求出垂足P在平面α内的轨迹即可得出△PCD的面积最大值，从而得出体积的最大值．

解答 解：设CD与圆心O确定的平面为α，则当四面体体积最大时，AB⊥α，
设AB与平面α的交点为P，则P为AB的中点，∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
过O做OM⊥CD，则OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴当P，O，M三点共线且O位于P，M之间时，△PCD的面积最大，故四面体体积最大．
∴V_max=$\frac{1}{3}{Smax}_{△PCD}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×（\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{5}）×3$=3$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，球的性质，属于中档题．