Question

19．求下列函数的解析式．
（1）若f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{{1-x}^{2}}$，求f（x）；
（2）已知f（x）=ax²+bx+c，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）；
（3）若3f（x-1）+2f（1-x）=2x，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{1}{x}=t$，则f（t），即得；
（2）首先得到关于a，b，c的方程解出a，b，c．
（3）先换元，令x-1=t可得f（t）和f（-t）的式子，方程组的方法可得f（t），可得f（x）．

解答 解：（1）因为f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{{1-x}^{2}}$，令$\frac{1}{x}=t$，则f（t）=$\frac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{{t}^{2}}}=\frac{t}{{t}^{2}-1}$，所以f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$；
（2）已知f（x）=ax²+bx+c，若f（0）=0，则c=0；又f（x+1）=f（x）+x+1，即（2a-1）x+b-1=0，所以a=0.5，b=1；所以f（x）=0.5x²+x；
（3）3f（x-1）+2f（1-x）=2x，令x-1=t，则1-x=-t，
∴3f（t）+2f（-t）=2t+2，
∴3f（-t）+2f（t）=-2t+2，
以上两式联立消去f（-t）可得5f（t）=10t+2，∴f（x）的解析式为f（x）=2x+$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了用换元法以及方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．