Question

9．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列有关等边三角形的四项叙述：
①若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，则△ABC是等边三角形
②若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，则△ABC是等边三角形
③若$\frac{a}{tanA}$=$\frac{b}{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，则△ABC是等边三角形
④若$\frac{a}{A}$=$\frac{b}{B}$=$\frac{c}{C}$，则△ABC是等边三角形
其中，正确叙述的序号是②③④．

Answer 1

分析 ①若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，由正弦定理可知：任意△ABC都满足条件，即可判断出正误；
②由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，可得tanA=tanB=tanC，即可判断出结论．
③由正弦定理可得：$\frac{sinA}{tanA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{tanC}$，cosA=cosB=cosC，即可得出结论．
④若$\frac{a}{A}$=$\frac{b}{B}$=$\frac{c}{C}$，可得$\frac{sinA}{A}$=$\frac{sinB}{B}$=$\frac{sinC}{C}$，通过分类讨论，A，B，C$≠\frac{π}{3}$时，利用导数研究函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$（x∈（0，$\frac{π}{2}$））的单调性即可得出结论．

解答 解：①若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，由正弦定理可知：任意△ABC都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
②若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，∴tanA=tanB=tanC，∵A，B，C∈（0，π），∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，正确．
③若$\frac{a}{tanA}$=$\frac{b}{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，由正弦定理可得：$\frac{sinA}{tanA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{tanC}$，∴cosA=cosB=cosC，∵A，B，C∈（0，π），∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，正确．
④若$\frac{a}{A}$=$\frac{b}{B}$=$\frac{c}{C}$，∴$\frac{sinA}{A}$=$\frac{sinB}{B}$=$\frac{sinC}{C}$，A=B=C=$\frac{π}{3}$时，△ABC是等边三角形；A，B，C$≠\frac{π}{3}$时，研究函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$（x∈（0，$\frac{π}{2}$））的单调性，f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-tanx）cosx}{{x}^{2}}$，$0＜x＜\frac{π}{2}$时，x＜tanx，∴函数f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递减，因此$\frac{sinA}{A}$=$\frac{sinB}{B}$=$\frac{sinC}{C}$不成立．综上可得：△ABC是等边三角形，正确．
其中，正确叙述的序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了正弦定理、三角形内角和定理、同角三角函数基本关系式、利用导数研究函数的单调性、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．