Question

19．在抛物线y²=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入y²=16x整理得线段PD的中点M的轨迹．
（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（1））设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵M为线段PD的中点，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵P（x，y₁）在y²=16x上，∴y₁²=16x，
∴4y²=16x，即y²=4x．
（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，可得：y²-4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{16{m}^{2}+16}$≥2，m=0时取等号，
∴m=0时，△AOB的面积最小值为2．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，训练了利用代入法求曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．