Question

4．设函数f（x）=x²+x-alnx，则a＜3是函数f（x）在[1，+∞）上单调递增的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

Answer 1

分析 通过已知条件，求出函数的导数，转化导数大于等于0恒成立，得到a的表达式，求出a≤3，只要在a≤3范围上取一段区间或一个点，都是这个命题成立的充分不必要条件．

解答 解：∵f（x）=x²+x-alnx在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=2x+1-$\frac{a}{x}$≥0，在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2x²+x，
由y=2x²+x在[1，+∞）为增函数，
∴y_min=3，
∴a≤3，
只要在a≤3范围上取一段区间或一个点，都是这个命题成立的充分不必要条件，
则a＜3是函数f（x）在[1，+∞）上单调递增的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要

点评 本题考查二次函数的性质，考查条件问题，解题的关键是先写出函数成立的充要条件，再从充要条件中选一段或一个点，得到结果．