Question

11．如图，已知四边形ABCD是一块边长为2千米的正方形地皮，其中曲边三角形ADE是一个小池塘，点E在边CD上且DE=1千米．假设曲边AE可用以A为顶点，AD为对称轴的抛物线拟合，现绿化部门拟过曲边AE上一点P作切线交边AB于点M，交CD于点N，在四边形MBCN内栽种花草．
（1）建立适当的坐标系，用点P的横坐标t表示花草的面积S（t），并写出定义域；
（2）求S（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的方程为y=ax²，代入E（1，2），可得抛物线的方程，求得导数，切线的斜率可得切线的方程，分别令y=0，y=2，可得M，N的坐标及MB，NC，由切线过C（2，2），可得t，由梯形的面积公式化简即可得到所求S（T）；
（2）运用基本不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b取得等号），即可得到所求面积的最大值．

解答 解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，
AD所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的方程为y=ax²，
由E（1，2）在抛物线上，可得a=2，
即有抛物线的方程为y=2x²，
导数为y′=4x，可得切线MN的斜率为4t，
切线的方程为y-2t²=4t（x-t），
令y=0，可得x=$\frac{t}{2}$，即有MB=2-$\frac{t}{2}$；
令y=2，可得x=$\frac{1}{2t}$+$\frac{t}{2}$，即NC=2-$\frac{1}{2t}$-$\frac{t}{2}$；
当切线经过点C（2，2），可得2-2t²=4t（2-t），
解得t=2-$\sqrt{3}$，
则S（t）=$\frac{1}{2}$×2（MB+NC）=4-$\frac{1}{2t}$-t（2-$\sqrt{3}$＜t≤1）；
（2）当2-$\sqrt{3}$＜t≤1时，S（t）=4-$\frac{1}{2t}$-t
=4-（$\frac{1}{2t}$+t）≤4-2$\sqrt{\frac{1}{2t}•t}$=4-$\sqrt{2}$．
当且仅当$\frac{1}{2t}$=t，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈（2-$\sqrt{3}$，1]时，
S（t）取得最大值4-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形面积的解析式和最值的求法，注意运用基本不等式，同时考查导数的运用：求切线的方程，考查运算能力，属于中档题．