Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}$，变形为：$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{（{a}_{n}+1）^{3}}{（{a}_{n}-1）^{3}}$，令$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$=b_n，b₁=3．可得${b}_{n+1}={b}_{n}^{3}$，两边取对数可得：lgb_n+1=3lgb_n，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}+1}{\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}-1}$=$\frac{（{a}_{n}+1）^{3}}{（{a}_{n}-1）^{3}}$，
令$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$=b_n，b₁=3．
则${b}_{n+1}={b}_{n}^{3}$，
两边取对数可得：lgb_n+1=3lgb_n，
∴数列{lgb_n}是等比数列，首项为lg3，公比为3．
∴lgb_n=3^n-1lg3，
∴b_n=${3}^{{3}^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$=${3}^{{3}^{n-1}}$．
解得a_n=$\frac{{3}^{{3}^{n-1}}+1}{{3}^{{3}^{n-1}}-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“取对数方法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．