Question

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b=$\sqrt{2}$，△ABC的面积为$\frac{1}{6}$sinC，sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，则C的值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，得到a+b=$\sqrt{2}$c，根据已知求出c的值，进而确定出a+b的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积代入求出ab的值，最后利用余弦定理表示出cosC，将各自的值代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．

解答 解：在△ABC中，将sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，利用正弦定理化简得：a+b=$\sqrt{2}$c，
∵a+b=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$，即c=1，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{6}$sinC，
∴ab=$\frac{1}{3}$，
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-1}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab-1}{2ab}$=$\frac{2-\frac{2}{3}-1}{\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
则C=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．