Question

17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且$\sqrt{3}$c=2asinC．
（1）确定角A的大小；
（2）如果a=3，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合sinC≠0，化简已知可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A为锐角，可得A的值．
（2）由已知及正弦定理可得b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得a+b+c=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，由范围$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$c=2asinC．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinC=2sinAsinC，…（3分）
又∵sinC≠0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，可得A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
又$\frac{a}{sinA}=\frac{3}{sin\frac{π}{3}}=2\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴a+b+c=3$+2\sqrt{3}sinB+2\sqrt{3}sinC$
=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosB
=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，…（9分）
∵在锐角△ABC中，$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴当B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即B=$\frac{π}{3}$时，a+b+c取最大值为9．
∴△ABC周长的最大值为9…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．