Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（Ⅱ）若对于x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

32

9

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导函数，利用导数作为工具解决函数的极值问题，注意方程思想的运用；
（Ⅱ）将恒成立问题转化为函数的最值问题是解决该题的关键．利用导数作为工具求出函数在给出区间上的最值，再列出不等式进行求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意f（x）=ax³-4ax²+4ax，故f'（x）=3ax²-8ax+4a=a（3x-2）（x-2），
令f'（x）=0解得x=2或x=

2

3

，
∵f（x）有极大值32，
而f（2）=0
∴f(

2

3

)=32，代入原函数解出a=27．
（Ⅱ）f'（x）=a（3x-2）（x-2），由f′（x）=0得出x=2或x=

2

3

．列表如下：
当a＞0时，f(x)max=f(

2

3

)=

32

27

a＜

32

9

?a＜3，∴0＜a＜3
当a＜0时，
∴f(x)max=-32a＜

32

9

?a＞-

1

9

，∴-

1

9

 ＜a＜0
综上a∈(-

1

9

，0)∪(0，3)．

点评：本题考查函数与导数的综合问题，考查导数作为工具解决函数的问题，注意函数的极值与函数导数的关系，恒成立问题转化为函数最值问题的转化与化归思想．通过解不等式求出字母取值范围的化归思想．