Question

已知实数a≠0，函数f(x)=a(x-2)2+2lnx，g(x)=f(x)-4a+

1

4a

．
（1）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若当x∈[2，+∞）时，函数g（x）图象上的点均在不等式

x≥2 y≥x

，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1时，求f（x）的导数f′（x），利用导数判定函数f（x）的单调性；
（2）求f（x）的导数f′（x），使f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，从而求出a的取值范围；
（3）由题意使g（x）≥x在[2，+∞）上恒成立，设h（x）=g（x）-x，则h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立，求出a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-4x+4+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x-4+

2

x

=

2(x-1)2

x

；
∵x＞0，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）∵f（x）=ax²-4ax+4a+2lnx，
∴f′（x）=2ax-4a+

2

x

=

2ax2-4ax+2

x

；
又∵f（x）在[1，4]上是增函数，
∴在[1，4]上f′（x）≥0恒成立，即2ax²-4ax+2≥0在[1，4]上恒成立①；
令g（x）=2ax²-4ax+2，则g（x）=2a（x-1）²-2a+2，
当a＞0时，要使①成立，只需g（1）≥0，即-2a+2≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1；
当a＜0时，要使①成立，只需g（4）≥0，即16a+2≥0，解得a≥-

1

8

，∴-

1

8

≤a＜0；
综上，-

1

8

≤a＜0或0＜a≤1．
（3）由题意，使a（x-2）²+2lnx-4a+

1

4a

≥x在[2，+∞）上恒成立，
令h（x）=a（x-2）²+2lnx-4a+

1

4a

-x，则h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立②；
∴h′（x）=2ax-4a+

2

x

-1，即h′（x）=

(x-2)(2ax-1)

x

；
（i）当a＜0时，∵x＞2，∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[2，+∞）上是减函数，且h（4）=2ln4-4+

1

4a

＜0，
∴②不成立；
（ii）当0＜a＜

1

4

时，2＜

1

2a

，此时h（x）在[2，

1

2a

]上是减函数，在[

1

2a

，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（

1

2a

）=a(

1

2a

-2)2+2ln

1

2a

-4a+

1

4a

-

1

2a

=-2-ln2a，
∴只需-2-2ln2a≥0，解得a≤

1

2e

；∴0＜a≤

1

2e

时②成立；
（iii）当a≥

1

4

时，2≥

1

2a

，此时h（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（2）=2ln2-4a+

1

4a

-2，
∵-4a+

1

4a

≤0，2ln2-2＜0，∴h（x）_min=h（2）＜0，∴②不成立；
综上，0＜a≤

1

2e

．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调区间以及根据函数的单调性求不等式恒成立的问题，是较难的题目．