Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

(3n+3)an+4n+6

n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{

an

n

+

2

n

}是等比数列；
（Ⅱ）令b_n=

3n-1

an+2

，数列{b_n}的前n项和为S_n．
①证明：b_n+1+b_n+2+…+b_2n＜

4

5

②证明：当n≥2时，S_n²＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

）

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

an+1

n+1

=3×

an

n

+

4n+6

n(n+1)

，由此能推导出数列{

an

n

+

2

n

}是等比数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（Ⅱ）（ⅰ）由

an

n

+

2

n

=3^n-1，得an=n•3n-1-2，从而bn=

1

n

，原不等式即为：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

，先用数学归纳法证明不等式当n≥2时，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

，由此能证明b_n+1+b_n+2+…+b_2n＜

4

5

．
（ⅱ）由S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，得当n≥2，Sn2-Sn-12=2•

Sn

n

-

1

n2

，从而利用累加法得Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，进而得到Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+

1

n

＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

），由此能证明当n≥2时，S_n²＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

）．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

(3n+3)an+4n+6

n

（n∈N^*），
∴na_n=3（n+1）a_n+4n+6，
两边同除n（n+1）得，

an+1

n+1

=3×

an

n

+

4n+6

n(n+1)

，
即

an+1

n+1

=3×

an

n

+

6

n

-

2

n+1

，
也即

an+1

n+1

+

2

n+1

=3×(

an

n

+

2

n

)，
又a₁=-1，∴

a1

1

+

2

1

=1≠0，
∴数列{

an

n

+

2

n

}是等比数列是以1为首项，3为公比的等比数列．

（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）得，

an

n

+

2

n

=3^n-1，∴an=n•3n-1-2，
∴bn=

1

n

，
原不等式即为：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

，
先用数学归纳法证明不等式：
当n≥2时，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

，
证明过程如下：
当n=2时，左边=

1

3

+

1

4

=

7

12

=

35

60

＜

36

60

=

4

5

-

1

2×2+1

，不等式成立
假设n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

，
则n=k+1时，左边=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2(k+1)+1

，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
因此，当n≥2时，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

，
当n≥2时，

4

5

-

1

2n+1

＜

4

5

，
∴当n≥2时，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

，
又当n=1时，左边=

1

2

＜

4

5

，不等式成立
故b_n+1+b_n+2+…+b_2n＜

4

5

．
（ⅱ）证明：由（i）得，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
当n≥2，Sn2-Sn-12=（1+

1

2

+…+

1

n-1

+

1

n

）²-（1+

1

2

+…+

1

n-1

）²
=

1

n

(2Sn-

1

n

)
=2•

Sn

n

-

1

n2

，
Sn-12-Sn-22=2•

Sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，
…
S22-S12=2•

S2

2

-

1

22

，
将上面式子累加得，Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，
又

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
∴Sn2-1＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(1-

1

n

)，
即Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+

1

n

＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

），
∴当n≥2时，S_n²＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高．