Question

16．已知函数y=a^x+b（a＞1，b＞0）的图象经过点P（1，3），则$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a-1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），
∴3=a+b，a＞1，b＞0．
∴（a-1）+b=2．
∴$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a-1+b）（$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}{b}$）
=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a-1}$+$\frac{a-1}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{4b}{a-1}•\frac{a-1}{b}}$）=$\frac{9}{2}$，
当且仅当a-1=2b=$\frac{4}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．