Question

6．已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若C（3，-1），求点P的坐标，使得|PQ|+|PC|最小．

Answer 1

分析 （1）连接OQ，由勾股定理得到PQ²=OP²-OQ²．从而PQ²=PA²，由此能求出得实数a，b间满足的等量关系．
（2）由已知得PQ=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-1}$，再由实数a，b间满足的等量关系=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a+3）^{2}-1}$，能求出线段PQ取得最小值．
（3）求出点A（2，1）关于点P所在直线2x+y-3=0的对称点D，当点P为直线CD与直线2x+y-3=0的交点时取得最小值，由此能求出结果．

解答 解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，
由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知PQ=PA，可得 PQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²．
化简，得实数a，b间满足的等量关系为：2a+b-3=0．
（2）∵2a+b-3=0，∴b=-2a+3，
∴PQ=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-1}$
=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a+3）^{2}-1}$
=$\sqrt{5{a}^{2}-12a+8}$
=$\sqrt{5（a-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{4}{5}}$，
故当a=$\frac{6}{5}$时，线段PQ取得最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）设点A（2，1）关于点P所在直线2x+y-3=0的对称点为D（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{2+m}{2}+\frac{1+b}{2}-3=0}\\{\frac{n-1}{m-2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{5}$，n=$\frac{1}{5}$，
∴点A（2，1）关于点P所在直线2x+y-3=0的对称点为D（$\frac{2}{5}，\frac{1}{5}$），
∴|PQ|+|PC|=|PA|+|PC|=|PD|+|PC|≥CD，
当点P为直线CD与直线2x+y-3=0的交点时取得最小值，
∵C（3，-1），D（$\frac{2}{5}，\frac{1}{5}$），∴直线CD所在方程为：$\frac{y+1}{x-3}=\frac{\frac{1}{5}+1}{\frac{2}{5}-3}$，即6x+13y-5=0，
解方程$\left\{\begin{array}{l}{6x+13y-5=0}\\{2x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{17}{10}}\\{y=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$．即P（$\frac{17}{10}，-\frac{2}{5}$）．
∴点P（$\frac{17}{10}$，-$\frac{2}{5}$）使得|PQ|+|PC|最小．

点评 本题考查实数a，b间满足的等量关系、线段PQ长的最小值，求点P的坐标，使得|PQ|+|PC|最小，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、两点间距离公式、对称点、直线方程等知识点的合理运用．