Question

16．函数f（x）=x³+2x²+x．
（1）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定切线上一点（1，f（1）），确定斜率k=k=f′（1）
（2）求导，利用导数的正负判断函数的单调性
（3）因为x²非负，不等式两边同时除以ax²，转换为x+2+$\frac{1}{x}$≥4再求最小值即可

解答 解：（1）f（x）=x³+2x²+x
f（1）=4
f′（x）=3x²+4x+1
k=f′（1）=8
∴切线方程为y-4=8（x-1）即y=8x-4
（2）f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{3}$或x=-1
当在（-∞，-1）和（-$\frac{1}{3}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增
在（-1，-$\frac{1}{3}$）上，f′（x）＜0，f（x）递减
（3）f（x）≥ax²恒成立
∴x³+2x²+x≥ax²
∴x+2+$\frac{1}{x}$≥a
∵x+2+$\frac{1}{x}$≥4
∴a≤4

点评 考察了导函数的应用和恒成立问题的转换．把恒成立问题转换为最值问题是常有方法，要结合题的特点，简化试题．