Question

8．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[2a，4a]（a＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求切线上点，f（1）=0得点（1，0），求切线的斜率f'（1）=1=k，求切线
（2）利用（1）的结论，函数在（0，e）上，f（x）递增，在（e，+∞）上，f（x）递减，只需讨论2a和4a距离e的远近，距离越远函数值越小．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f（1）=0，f'（1）=1=k，
∴切线方程为y-0=k（x-1），
∴y=x-1，
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当在（0，e）上，f′（x）＞0，f（x）递增，
当在（e，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）递减；
（2）由（1）可知函数的单调区间，
当e≤3a即a≥$\frac{e}{3}$时，f（x）min=f（4a）=$\frac{ln4a}{4a}$，
当e＞3a即a＜$\frac{e}{3}$时，f（x）min=f（2a）=$\frac{ln2a}{2a}$．

点评 考察了切线的求法和闭区间最值的求法，难点是参数的讨论问题．