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如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,·=0.

(1)求椭圆C的方程.

(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.

 

(1) +y2=1 (2)见解析

【解析】(1)依题意有

故椭圆C的方程为:+y2=1.

(2)·=0,APAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k0).

y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,

解得x=0x=-,

因此P的坐标为(-,-+1),

(-,),

将上式中的k换成-,Q(,).

直线l的方程为y=(x-)+,化简得直线l的方程为y=x-,

因此直线l过定点N(0,-).

 

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