【题目】已知函数在点处取得极值.
(1)求的值;
(2)若有极大值,求在上的最小值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1) 函数在点处取得极值 ,则 , ,列方程组解出a,b的值即可;(2)对函数求导判断单调性,求出函数的极大值,由极大值可求出c的值,代回解析式,根据单调性求出函数在上的最小值.
试题解析:
(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b,
由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,
故有,
即化简得,
解得a=1,b=-12.
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c;
f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;
当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(2,+∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x1=2处取得极小值f(2)=c-16.
由题设条件知16+c=28得c=12.
此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,
f(2)=-16+c=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
点睛: 函数的导数与极值点的关系:(1)定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是,并且在两侧异号,若左负右正为极小值点,若左正右负为极大值点;(2)函数在点处取得极值时,它在这点的导数不一定存在,例如函数,结合图象,知它在处有极小值,但它在处的导数不存在;(3) 既不是函数在处取得极值的充分条件也不是必要条件.最后一定要注意对极值点进行检验.
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【题目】如图,在三棱柱中,⊥底面,底面为等边三角形,,, ,分别为, 的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值;
(3)设平面与平面的交线为求证:与平面不平行.
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【题目】如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A.①②④B.①②③
C.②③④D.①③④
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【题目】(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)
设函数
(1)若在处取得极值,确定的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(2)若在上为减函数,求的取值范围。
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【题目】某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段、、、后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
求分数在内的频率,并补全这个频率分布直方图;
统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;
若从60名学生中随抽取2人,抽到的学生成绩在记0分,在记1分,在记2分,用表示抽取结束后的总记分,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示,下列关于的命题:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函数的极大值点为0,4;
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时, 的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________.
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【题目】10月1日,某品牌的两款最新手机(记为型号,型号)同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位:部),得到下表:
手机店 |
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|
型号手机销量 | 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
型号手机销量 | 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
(Ⅰ)若在10月1日当天,从,这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率;
(Ⅱ)现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用
(III)经测算,型号手机的销售成本(百元)与销量(部)满足关系.若表中型号手机销量的方差,试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.(用表示,结论不要求证明)
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