Question

【题目】已知函数在点处取得极值.

(1)求的值；

(2)若有极大值，求在上的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析:(1) 函数在点处取得极值 ,则 , ,列方程组解出a,b的值即可;(2)对函数求导判断单调性,求出函数的极大值,由极大值可求出c的值,代回解析式,根据单调性求出函数在上的最小值．

试题解析：

(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，

由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，

故有,

即化简得,

解得a＝1，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；

f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，

故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知16＋c＝28得c＝12.

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，

f(2)＝－16＋c＝－4，

因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.

点睛: 函数的导数与极值点的关系：(1)定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数在点处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数，结合图象，知它在处有极小值，但它在处的导数不存在；(3) 既不是函数在处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后一定要注意对极值点进行检验．