已知可导函数y=f(x)满足f(x-2)=f(-x),函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1,则f′(1)= ,函数y=f(x)的图象在点(-3,f(-3))处的切线方程为 .
【答案】分析:利用导数的几何意义是切线的斜率,可求f′(1)的值,先确定确定坐标,再求出切线斜率,即可得到结论.
解答:解:∵导数的几何意义是切线的斜率,
∴f′(1)就是函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率,故f′(1)=2
∵f(x-2)=f(-x),
∴f(-3)=f(-1-2)=f[-(-1)]=f(1)
又函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1
∴点(1,f(1))满足切线方程,即f(1)=2×1+1=3
故f(-3)=f(1)=3
然后只要解出f′(-3)就行了.
对f(x-2)=f(-x)的等号两边同时求导得:f′(x-2)×(x-2)′=f′(-x)×(-x)′
即f′(x-2)=-f′(-x)
∴f′(-3)=f′(-1-2)=-f′[-(-1)]=-f′(1)=-2
∴切线方程为y-f(-3)=f′(-3)(x-(-3)),即y-3=-2(x+3)
化为斜截式得:y=-2x-3
故答案为:2,y=-2x-3.
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生分析解决问题的能力,确定切线的斜率与切点的坐标是关键.