Question

已知m∈R，设P：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立．Q：函数f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在（-∞，+∞）上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围．

Answer 1

分析：由题设知x₁+x₂=a且x₁+x₂=-2，所以，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

≤3，由题意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，由此知当m≤1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的．f′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

，由题设能够得到当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜1或m＞4时，Q是正确得．由此可知使P正确且Q正确时，求出实数m的取值范围．

解答：解：由题设x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，得x₁+x₂=a且x₁x₂=-2，
所以，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

当a∈[-1，1]时，a²+8的最大值为9，即|x₁-x₂|≤3
由题意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，由此不等式得m²-5m-3≤-3①
或m²-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5不等式②的解为m≤1或m≥6因为，对m≤1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的．
对函数f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6求导f′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

令f'（x）=0，即3x2+2mx+m+

4

3

=0此一元二次不等式的判别式△=4m2-12(m+

4

3

)=4m2-12m-16．
若△=0，则f'（x）=0有两个相等的实根x₀，且f'（x）的符号如下：

因此，f（x₀）不是函数f（x）的极值．
若△＞0，则f'（x）=0有两个不相等的实根x₁和x₂（x₁＜x₂），且f'（x）的符号如下：

因此，函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值．
综上所述，当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
因为，当m＜1或m＞4时，Q是正确的．
综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．

点评：本题考查命题真假的判断的应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．