Question

2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C，所对的边长，且a=c，满足cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若点O是△ABC外一点，OA=2OB=4，记∠AOB=α，用含α的三角函数式表示平面四边形OACB面积并求面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，结合sinA≠0，可求$tanB=\sqrt{3}$，结合范围0＜B＜π，即可得解B的值．
（2）由（1）及已知利用余弦定理可求AB²=20-16cosα，利用三角形面积公式可求S_△ABC=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$cosα，S_△OAB=4sinα，利用两角差的正弦函数公式可求平面四边形OACB的面积S=8sin（α-$\frac{π}{3}$）≤5$\sqrt{3}$+8，利用正弦函数的图象和性质即可得解最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
∴可得：-cos（A+B）+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，整理可得：-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
∴sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，即$tanB=\sqrt{3}$，
又∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由（1）及题中a=c，得△ABC为等边三角形．
设∠AOB=α，则由余弦定理得AB²=16+4-16cosα=20-16cosα，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（20-16cosα）=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$cosα，
又∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB•sinα=4sinα，
∴平面四边形OACB的面积为：$S=5\sqrt{3}+4（{sinα-\sqrt{3}cosα}）=8sin（{α-\frac{π}{3}}）≤5\sqrt{3}+8$，当且仅当$α-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ$时取等号，
又0＜α＜π，即$α=\frac{5}{6}π$时S取得最大值，
故${S_{max}}=5\sqrt{3}+8$，即平面四边形OACB面积的最大值为$5\sqrt{3}+8$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．