Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{n}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F是椭圆C的右焦点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线在y轴的截距为$\frac{2}{3}$，求k的值；
（Ⅲ）是否存在点P（t，0），使得PF为∠APB的平分线？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，可得n=4；
（Ⅱ）求得椭圆方程，设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，计算即可得到所求值；
（Ⅲ）假设存在点P（t，0），使得PF为∠APB的平分线，即有直线PA和PB的斜率之和为0，运用韦达定理和斜率公式，化简整理，解方程可得t，即可判断存在．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，
即有c=2，b=2，
即有n=4；
（Ⅱ）椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，F（2，0），
直线AB的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
AB的中点为（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，k（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2）），
即为（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$），
由题意可得$\frac{\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}-\frac{2}{3}}{\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，解得k=1或$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）假设存在点P（t，0），使得PF为∠APB的平分线，
即有直线PA和PB的斜率之和为0，
即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，由y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
即有2x₁x₂-（2+t）（x₁+x₂）+4t=0，
代入韦达定理，可得$\frac{16{k}^{2}-16}{1+2{k}^{2}}$-（2+t）•$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4t=0，
化简可得t=4．
即有存在点P（4，0），使得PF为∠APB的平分线．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．