Question

10．如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分别为AB、EA中点．
（1）求证：EB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面EAB；
（3）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理可得OM∥BE，故而EB∥平面MOC；
（2）由等腰三角形三线合一可得OC⊥AB，由平面EAB⊥平面ABC可得OC⊥平面EAB，故而平面MOC⊥平面EAB；
（3）连结OE，则OE为棱锥的高，利用等边三角形的性质求出OE，代入体积计算．

解答 证明：（1）证明：∵O，M分别为AB，EA的中点，∴OM∥BE，
又∵EB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴EB∥平面MOC．
（2）∵AC=BC，O 为AB中点，∴OC⊥AB，
又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，
∴OC⊥平面EAB，又∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面 EAB．
（3）连结OE，则OE⊥AB，
又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，OE?平面EAB，
∴OE⊥平面ABC．
∵AC⊥BC，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，
∵三角形EAB为等边三角形，∴OE=$\sqrt{3}$．
∴三棱锥E-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$•EO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．