Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）经过点$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过椭圆C的右焦点F作垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与椭圆C交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当直线l与圆x²+y²=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出最大值及对应直线l的方程，若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）由已知求出AB的长度，然后分m=0和m≠0讨论，当m≠0时，由直线和圆相切得到m，n的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出C，D的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m，n的值，从而得到直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由已知得$|{AB}|=\sqrt{2}$，当 m=0时，不符合题意；
当m≠0时，由直线l与圆x²+y²=1相切，可得$\frac{|n|}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=1$，即m²+1=n²，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=mx+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y，可得$（{m^2}+\frac{1}{2}）{x^2}+2mnx+{n^2}-1=0$，
$△=4{m^2}{n^2}-4（{m^2}+\frac{1}{2}）（{n^2}-1）=2{m^2}＞0$，
${x_1}=\frac{{-2mn+\sqrt{2{m^2}}}}{{2{m^2}+1}}$，${x_2}=\frac{{-2mn-\sqrt{2{m^2}}}}{{2{m^2}+1}}$，
∴${S_{四边形ABCD}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{x{\;}_1-{x_2}}|=\frac{2|m|}{{2{m^2}+1}}=\frac{2}{{2|m|+\frac{1}{|m|}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
当且仅当$m=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时上式等号成立，此时$n=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
∴对应的直线方程为$\sqrt{2}x+2y-\sqrt{6}=0$或$\sqrt{2}x-2y-\sqrt{6}=0$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．